ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ Α                                                                                                                     

Α₁  α.     _.Πότε δύο συναρτήσεις λέγονται ίσες.

     β.   Τι ονομάζουμε σύνθεση της συνάρτησης f  με την συνάρτηση g;                                                                              

      γ.   Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι έχει ολικό ελάχιστο στο χ_ο€Α.

      δ .  Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται 1-1.

Α_2.Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις¨

      1.Αν το πεδίο ορισμού της f είναι Α και το πεδίο ορισμού της g είναι 

Β τότε το πεδίο ορισμου της είναι το Α∩Β

2.Αν οριζονται οι συνθέσεις fog ,gof τότε είναι υποχρεωτικά ίσες.

3.Αν μία συνάρτηση f είναι 1-1 τότε είναι γνησίως μονότονη.

4.Οι γραφικές παραστάσεις των f,f^-1είναι συμμετρικές ως προς την ψ=χ.

5.Ισχύουν f^-1(f(x))=x,xeA,f(f^-1(x))=x xeA.

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln()

Β₁.α)Να αποδείξετε ότι ≤ 1 για κάθε χ€R .Για ποια τιμή του  χ   ισχύει η ισοτητα.

      β)Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό χ_ο τέτοιο ώστε f(x)≤f(x_o) για κάθε χ≥0

Β₂.Δίνεται η συνάρτηση φ(χ)=f().Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f,φ είναι ίσες.

Β₃.α)    Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(χ)=+x,  x€R είναι γνήσια αύξουσα

    β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  +f(x)=e^x+x  είναι αδύνατη στο (0,∞)

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=,  α=-2

α) Να βρείτε την τιμή του α   για την οποία (f0f)(x)=x για    κ κάθε  χ€R –(1)

β) Εστω α=1

 1) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f

 2) Na  δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

3)Να λυσετε την εξίσωση (fofofofof)(x)+(fof)(x)=x+4